结论前置：婆婆改嫁后，其银行遗产的提取并不完全取决于亲儿子是否签字，而是需要依据具体的遗产继承法律规定以及实际情况来确定。继子是否能提出来，要看其是否符合继承人的条件以及遗产分配的具体情况。

分析说明：

1. 继承人的确定：

   • 根据《民法典》的相关规定，遗产继承首先由第一顺序继承人继承，包括配偶、子女、父母。这里的子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
   • 如果婆婆改嫁后，与继子形成了扶养关系，那么继子就属于第一顺序继承人之一，有权继承婆婆的遗产。

2. 遗产的分配：

   • 遗产分配应遵循公平原则，考虑继承人的实际情况和需要。如果亲儿子不签字，但并未表示放弃继承权，那么其仍然享有继承权。
   • 在遗产分配时，应协商处理，如果协商不成，可以通过诉讼等方式解决。

3. 银行遗产的提取：

   • 银行遗产的提取通常需要继承人提供相关的继承证明文件，如继承权公证书、法院判决书等。
   • 如果亲儿子不签字，但继子符合继承人条件且遗产分配已经明确，继子可以依据继承证明文件向银行申请提取遗产。

4. 特殊情况的处理：

   • 如果婆婆改嫁前未对遗产进行处分，且改嫁后未与继子形成扶养关系，那么继子可能无权继承婆婆的遗产。
   • 如果亲儿子对遗产分配有异议，或者存在其他继承人争议，那么需要通过法律途径解决争议后才能提取遗产。

总结：因此，婆婆改嫁后她的银行遗产的提取并不完全取决于亲儿子是否签字。继子是否能提出来，要看其是否符合继承人的条件、遗产分配的具体情况以及是否存在继承人争议。如果存在争议或不确定的情况，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。