核心结论：工伤不辞职且牵扯第三方公司时，赔付问题需根据具体情况，结合工伤保险责任、第三方侵权责任及劳务派遣或业务外包等法律关系来确定。以下是具体分析：

1. 工伤保险责任与第三方侵权责任的竞合

   • 若工伤系因第三方公司（如设备供应商、承包商等）的侵权行为导致（如设备故障致伤），则劳动者可同时主张工伤保险待遇和第三方侵权赔偿。
   • 工伤保险赔付：根据《工伤保险条例》，劳动者可享受医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等由工伤保险基金支付的待遇。
   • 第三方侵权赔偿：根据《民法典》侵权责任编，劳动者可要求第三方赔偿医疗费、护理费、残疾赔偿金、精神损害抚慰金等（需注意医疗费等实际支出项目不可重复获赔）。
   • 操作建议：劳动者应先申请工伤认定并享受工伤保险待遇，再通过诉讼或协商向第三方主张侵权赔偿，两者可互补但不可重复获赔。

2. 劳务派遣或业务外包中的责任划分

   • 劳务派遣场景：若劳动者被派遣至第三方公司工作并受伤，根据《劳务派遣暂行规定》，用工单位（第三方公司）造成工伤的，由用工单位承担工伤保险责任；派遣单位未依法缴纳工伤保险的，由派遣单位支付工伤保险待遇。
   • 业务外包场景：若第三方公司系承包方，劳动者与其形成劳动关系，则工伤责任由第三方公司承担；若发包方未尽到安全保障义务（如未提供安全环境），可能需承担连带责任。
   • 操作建议：劳动者应明确劳动关系归属（与派遣单位还是第三方公司），通过劳动仲裁或诉讼确认责任主体，再主张赔偿。

3. 特殊情形：第三方公司系实际用工单位但未签合同

   • 若劳动者与第三方公司存在事实劳动关系但未签合同，发生工伤后，需先通过劳动仲裁确认劳动关系，再申请工伤认定。
   • 赔付主体：第三方公司作为实际用工单位，需承担工伤保险责任；若未缴纳工伤保险，则全额支付工伤待遇。
   • 操作建议：劳动者应收集工资支付记录、工作证、考勤记录等证据，证明与第三方公司的劳动关系，再启动工伤认定程序。

总结：工伤不辞职且牵扯第三方公司时，赔付问题需结合具体法律关系（如侵权、劳务派遣、业务外包）和证据情况处理。建议劳动者优先申请工伤认定，再根据第三方公司的角色（侵权方、用工单位、发包方等）主张相应赔偿。如有复杂情况，可直接向我咨询具体方案。