延长立案期限至三十日的法律依据主要在于《最高人民检察院公安部关于公安机关办理经济犯罪案件的若干规定》中的相关条款。具体分析如下：
一般规定：
- 根据《最高人民检察院公安部关于公安机关办理经济犯罪案件的若干规定》第十五条（部分版本为第十四条，可能因版本更新或条款调整而有所差异，但核心内容一致），公安机关在接受涉嫌经济犯罪线索的报案、控告、举报、自动投案后，应当立即进行审查，并在七日以内决定是否立案。
延长立案期限的情形：
- 重大、疑难、复杂线索：对于重大、疑难、复杂的案件线索，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至三十日。这一规定旨在给予公安机关足够的时间对复杂案件进行深入调查和审查，以确保立案的准确性和公正性。
- 特别重大、疑难、复杂或者跨区域性的线索：对于特别重大、疑难、复杂或者跨区域性的案件线索，经上一级公安机关负责人批准，立案审查期限可以再延长三十日。这进一步体现了对特别复杂案件的特殊处理，确保公安机关有充分的时间进行跨区域协作和深入调查。
其他相关情形：
- 上级公安机关指定管辖或者书面通知立案的，应当在指定期限以内立案侦查。这体现了上级公安机关对下级公安机关的指导和监督作用。
- 人民检察院通知立案的，应当在十五日以内立案侦查。这体现了检察机关对公安机关立案工作的监督和促进。
法律建议：
- 在实际操作中，如果案件线索涉及重大、疑难、复杂情形，或者属于特别重大、疑难、复杂或者跨区域性的案件，公安机关应当及时向上级或相关负责人申请延长立案期限，并确保在延长后的期限内完成立案审查工作。
- 对于当事人而言，如果其报案、控告、举报的案件线索属于上述情形，且公安机关未在规定期限内立案，当事人可以依法向相关部门反映情况，要求公安机关依法履行职责。
可能的法律后果：
- 如果公安机关未在规定期限内立案，且未依法申请延长立案期限，可能会面临内部纪律处分或外部监督纠正。
- 对于当事人而言，如果因公安机关未及时立案而导致其合法权益受到损害，当事人可以依法寻求法律救济，如提起行政诉讼或要求国家赔偿等。