投毒杀狗的行为可能构成犯罪，具体判刑情况需根据投毒行为的性质、后果及投毒地点等因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：

一、可能构成的罪名及判刑情况

1. 故意毁坏财物罪

   • 情形描述：若毒死的狗是有主人的，且狗的价值达到当地关于故意毁坏财物罪的立案标准（一般不低于5000元，具体标准可能因地区而异），则投毒者的行为可能构成此罪。
   • 法律依据及量刑：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。

2. 投放危险物质罪

   • 情形描述：若投毒地点在公共区域，如小区花园、公共道路等，且投毒行为可能危害不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全，即使仅毒死了狗，也可能因此罪被追诉。
   • 法律依据及量刑：根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条、第一百一十五条，投放毒害性物质危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。过失犯此罪的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑或者拘役。

二、不构成犯罪但可能违反治安管理规定的情形及处理

• 情形描述：若毒死的狗是流浪狗，且投毒行为未对公共安全造成威胁，或者狗的价值未达到故意毁坏财物罪的立案标准，则通常不构成犯罪。
• 处理方式：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，此类行为可能会被处以警告、罚款（一般情节较轻处二百元以下罚款，情节较重处五百元以下罚款）或者行政拘留（五日以上十日以下拘留）。

三、案件处理流程

1. 证据收集：首先需收集充分证据来证明犯罪行为和犯罪人身份，如监控录像、证人证言、毒物检测报告等。
2. 法律判定：根据具体案情和法律规定，由法院判定罪名及相应刑罚。
3. 民事赔偿：被害人可同时提起民事诉讼，要求犯罪人赔偿因投毒行为所造成的损失，如狗的价值、治疗费用等。

四、建议与总结

投毒杀狗的行为不仅可能触犯刑律，还可能对公共安全构成严重威胁。因此，我建议公众严格遵守法律法规，尊重生命和财产安全。如遇类似事件，应及时向公安机关报案，并积极配合调查处理。同时，对于狗的主人来说，也应加强看管，避免狗误食有毒物质。

如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。