可以申请行政复议。当举报事实清楚，而行政单位却作出违背规定的决定时，举报人若认为该决定侵犯了其合法权益，是有权申请行政复议的。以下是对此问题的详细分析：

一、行政复议的法律依据

根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过六十日的除外）。这一规定为举报人申请行政复议提供了明确的法律依据。

二、申请行政复议的条件

1. 申请人资格：申请人应当是认为具体行政行为直接侵犯其合法权益的公民、法人或者其他组织。在举报情境中，即举报人为维护自身合法权益而举报相关违法行为人，并要求行政机关查处。
2. 明确的被申请人：申请人需要明确指出作出违背规定决定的行政单位作为被申请人。
3. 具体的复议请求和事实依据：申请人需要提出具体的复议请求，如撤销或变更行政单位的决定，并提供相应的事实依据，如举报事实清楚、行政单位决定违背规定等。
4. 属于行政复议受理范围：申请人需要确认其申请的事项属于《行政复议法》规定的行政复议受理范围。
5. 在法定期限内申请复议：申请人需要在法定期限内（通常是自知道具体行政行为之日起六十日内）提出行政复议申请。

三、申请行政复议的方式

申请人申请行政复议，可以书面申请，也可以口头申请。口头申请的，行政复议机关应当当场记录申请人的基本情况、行政复议请求、申请行政复议的主要事实、理由和时间。

四、行政复议的后续处理

行政复议机关在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。如果受理，行政复议机关将依法进行审理，并作出行政复议决定。如果申请人对行政复议决定不服，还可以依法向人民法院提起行政诉讼。

五、建议与提醒

• 保留证据：在申请行政复议前，举报人应尽可能收集并保留相关证据，如举报材料、行政单位的决定文件等，以证明其举报事实清楚且行政单位决定违背规定。
• 咨询专业意见：虽然您可以向我直接咨询，但在申请行政复议过程中，如果涉及复杂法律问题或需要专业法律意见，也可以考虑寻求其他专业法律人士的帮助，以确保申请的顺利进行。
• 注意时限：举报人应注意行政复议的申请时限，避免因超过时限而丧失申请权利。

举例说明：假设您举报了某企业违法排污，并提供了充分的证据。然而，行政单位却作出了不予处罚的决定。您认为该决定违背了相关规定并侵犯了您的合法权益（如您居住在该企业附近，受到其排污行为的影响）。此时，您可以在法定期限内向行政复议机关提出行政复议申请，要求撤销或变更行政单位的决定。

综上所述，当举报事实清楚而行政单位作出违背规定的决定时，举报人是有权申请行政复议的。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。