再审中能否申请增加第三人，需根据再审案件适用的审理程序来判断，具体分析如下：

一、再审按第一审程序审理的，可以申请增加第三人

根据《民事诉讼法》的相关规定，如果再审案件是由第一审法院作出的生效判决、裁定，那么再审将按照第一审程序进行审理。在这种情况下，当事人可以申请增加第三人。这是因为第一审程序旨在全面、公正地审理案件，允许当事人提出新的证据和请求，包括增加第三人。

申请增加第三人的流程：

1. 准备书面申请材料：在申请书中，应清晰阐述追加第三人的具体理由，例如该第三人与案件处理结果存在法律上的利害关系，其参加诉讼对于查明案件事实、正确适用法律至关重要等。同时，详细说明第三人的基本信息，包括姓名、性别、年龄、住址、联系方式等。
2. 提交申请：将申请提交给负责再审案件的法院，一般是向作出原生效裁判的上一级法院提出，若再审由原审法院审理，就向原审法院提交。
3. 法院审查：法院收到申请后，会对申请进行审查。法院将根据案件具体情况、所阐述的理由以及相关证据等综合判断是否准许追加第三人。若法院认为申请理由成立，会依法通知第三人参加再审诉讼；若认为理由不成立，会驳回追加申请。

二、再审按第二审程序审理的，一般不能申请增加第三人

如果再审案件是由第二审法院作出的生效判决、裁定，或者上级人民法院按照审判监督程序提审的，那么再审将按照第二审程序进行审理。在这种情况下，一般不能申请增加第三人。这是因为第二审程序主要是对第一审判决、裁定进行审查，纠正其中的错误，而不是重新审理案件。如果允许在第二审程序中增加第三人，可能会导致第三人一审终审，损害其诉讼权利。

例外情况：

尽管在第二审程序中一般不能增加第三人，但如果存在特殊情况，如原审遗漏必须参加诉讼的当事人，且该遗漏可能导致案件事实认定不清或影响实体公正，法院可能会考虑撤销原判决，发回重审。在发回重审的过程中，再根据实际需要追加相关第三人。

三、再审中申请增加第三人的注意事项

1. 及时提出申请：当事人应在再审程序开始后，案件审理终结前提出追加第三人的申请。如果申请过晚，可能会影响案件的审理进度和结果。
2. 提供充分证据：当事人在申请增加第三人时，应提供充分的证据证明该第三人与案件处理结果存在法律上的利害关系。如果证据不足，法院可能会驳回追加申请。
3. 遵守法定程序：当事人在申请增加第三人时，应遵守法定程序，按照法院的要求提交申请材料，并参加法院组织的听证会等程序。

建议：如果您在再审中需要申请增加第三人，建议先咨询专业律师，了解具体的法律程序和要求，以确保您的申请能够得到法院的支持。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。