三只羊公司承担的是民事责任和行政责任。以下是对此问题的详细分析：
一. 民事责任
虚假宣传的赔偿责任
- 根据《消费者权益保护法》及其实施条例，如果三只羊公司的直播行为构成误导消费者，导致消费者购买了不符合宣传的商品或遭受了其他损失，三只羊公司应赔偿消费者的直接损失。
- 消费者有权要求三只羊公司提供退货、换货、退款等补救措施，并承担相关费用。
- 在严重误导消费者的情况下，三只羊公司还可能被要求发布道歉声明，以消除不良影响。
赔偿标准的确定
- 根据《消费者权益保护法》第五十五条，如果三只羊公司的行为被认定为欺诈，消费者可以要求其按照购买商品价款的三倍进行赔偿。如果增加赔偿的金额不足五百元，则按五百元计算。
- 消费者还可以依据《食品安全法》等相关规定，如果三只羊公司的食品欺诈行为同时涉及食品安全问题，主张更高的赔偿。
二. 行政责任
行政处罚的依据
- 根据《广告法》第五十五条，如果三只羊公司作为广告经营者，明知或者应知广告虚假仍设计、制作、代理、发布，将受到市场监督管理部门的处罚。
- 根据《反不正当竞争法》第八条和第二十条，如果三只羊公司对其商品作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者，或者通过组织虚假交易等方式帮助其他经营者进行虚假宣传，也将受到行政处罚。
行政处罚的措施
- 市场监督管理部门有权责令三只羊公司停止发布虚假广告，并在相应范围内消除影响。
- 具体的处罚措施可能包括警告、罚款、没收违法所得、责令停业整顿等。罚款的金额可能根据违法行为的性质、情节和后果等因素确定。
- 例如，在三只羊公司直播带货“香港美诚月饼”的案件中，相关部门拟对其没收违法所得、罚款共计6894.91万元，并责令其暂停经营限期整改。
三. 刑事责任的可能性
- 根据《刑法》第二百二十二条，如果三只羊公司的行为构成虚假广告罪，且情节严重，将依法追究刑事责任。但需要注意的是，一般情况下，此类案件更多涉及民事责任和行政责任。
- 在判断是否构成虚假广告罪时，需要考虑违法所得数额等因素。如果三只羊公司的收益超过一定数额（如十万元以上），且行为被认定为情节严重，才可能面临刑事责任。
综上所述，三只羊公司承担的法律责任主要是民事责任和行政责任。这些责任的承担是基于其在直播带货过程中存在的虚假宣传等违法行为。如有进一步需要，您可以继续咨询我。