针对您提出的“醉酒肇事逃逸应该怎么处罚”的问题，我将从行政责任和刑事责任两个方面为您进行详细解答。
一、行政责任
吊销驾驶证： 根据《道路交通安全法》的相关规定，醉酒驾驶机动车是严重的违法行为。一旦被查实，公安机关交通管理部门将吊销您的机动车驾驶证，并且根据车辆类型（非营运或营运），您将在五年内或十年内不得重新取得机动车驾驶证。这一措施旨在严惩酒驾行为，确保道路交通安全。
终生禁驾： 如果您在醉酒状态下驾车并发生交通事故后逃逸，且该行为构成犯罪，那么您将面临终生不得重新取得机动车驾驶证的严厉处罚。这意味着您将永久失去驾驶资格，这是对逃逸行为的极端惩罚。
二、刑事责任
交通肇事罪： 依据《刑法》第一百三十三条，如果您违反交通运输管理法规，发生重大事故并致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失，您将面临三年以下有期徒刑或拘役的处罚。若您在肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，刑罚将提升至三年以上七年以下有期徒刑。特别需要注意的是，醉酒驾驶机动车发生交通事故并负全部或主要责任时，同样以交通肇事罪定罪处罚。
逃逸致人死亡： 如果您在交通肇事后为逃避法律追究而逃跑，导致被害人因得不到及时救助而死亡，您将构成“逃逸致人死亡”，面临七年以上有期徒刑的严厉惩罚。这是对逃逸行为导致严重后果的极端法律后果。
以危险方法危害公共安全罪： 在极端情况下，如您在醉酒驾驶肇事逃逸过程中，主观上对持续发生的危害结果持放任态度，继续驾车冲撞并造成重大伤亡，您将可能被认定为具有危害公共安全的故意。依照《刑法》第一百一十五条第一款的规定，您将以以危险方法危害公共安全罪定罪处罚，面临十年以上有期徒刑、无期徒刑甚至死刑的严峻法律后果。
三、民事赔偿责任
除了刑事责任外，您还需要承担民事赔偿责任。这包括赔偿受害者的医疗费、误工费、残疾赔偿金（若造成残疾）、死亡赔偿金（若导致死亡）等。保险公司在交强险责任限额范围内会垫付抢救费用，并有权向您追偿。
四、建议与警示
醉酒肇事逃逸是极其严重的违法行为，不仅会对受害者及其家庭造成无法挽回的伤害，也会让您自己陷入深重的法律困境。因此，我强烈建议您严格遵守交通规则，切勿酒后驾车。一旦发生交通事故，应立即停车、保护现场、抢救受伤人员，并迅速报警处理。这是对自己和他人生命安全的负责，也是遵守法律、维护社会和谐的应有之义。
如果您或您身边的人面临此类问题，我建议您尽快寻求专业法律帮助，以便更好地了解您的权利和义务，以及可能面临的法律后果。