关于私立学校教师产假遇到寒暑假是否可以顺延的问题，这主要取决于当地的具体政策规定以及学校自身的执行情况。不过，我可以根据一些公开的信息和政策导向，给您一个较为全面的解答。

首先，从国家层面和部分地方政策来看，女教师产假期间遇到寒暑假，是有可能顺延的。例如，安徽省人力资源和社会保障厅在回复网友咨询时提到，女教师产假若正值寒暑假期间，原则上按照《国家教育委员会关于女教师产假有关问题的复函》执行，即女教师产假若正值寒暑假期间，其寒暑假休假时间可以顺延，但各地会根据学校的实际情况执行。吉林省卫生健康委员会也有类似的指导意见，指出女教师休产假期间遇到寒暑假时，产假应当顺延。

然而，需要注意的是，这些政策规定可能因地区而异，且私立学校在执行时可能会有一定的灵活性。私立学校作为独立法人，其人事管理和休假制度可能不完全受政府政策的直接约束，而是更多地依据学校自身的规章制度和劳动合同来执行。

因此，对于私立学校教师来说，要确定产假遇到寒暑假是否可以顺延，最直接且有效的方式是查阅自己所在学校的规章制度或劳动合同，看其中是否有关于产假与寒暑假顺延的具体规定。如果学校没有明确规定，或者规定不够明确，您可以与学校的人力资源部门或相关负责人进行沟通，了解学校的具体执行情况和政策导向。

总的来说，虽然国家层面和部分地方政策倾向于支持女教师产假期间遇到寒暑假时顺延，但具体执行情况还需根据学校自身的规章制度和劳动合同来确定。希望这个解答能够对您有所帮助。