政府机关可以签订劳务派遣合同，但需分情况讨论。具体如下：
政府机关作为用工单位时：
- 当政府机关需要使用劳务派遣人员时，它作为用工单位，并不直接与劳动者签订劳动合同。而是由劳务派遣单位（即用人单位）与劳动者签订劳动合同，并将劳动者派遣至政府机关工作。这种情况下，政府机关与劳务派遣单位之间会签订劳务派遣协议，明确双方的权利和义务，包括派遣岗位、人员数量、派遣期限、劳动报酬和社会保险费的数额与支付方式等。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括与劳动者订立劳动合同等。而第五十九条则规定了劳务派遣单位派遣劳动者应当与接受以劳务派遣形式用工的单位（即用工单位，如政府机关）订立劳务派遣协议。
政府机关直接聘用编外人员时（非劳务派遣）：
- 如果政府机关直接以编外人员身份聘用工作人员（如合同制司机、文员等），则与这些工作人员之间建立的是劳动关系。此时，政府机关应当作为用人单位，与劳动者签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 但这种情况并不属于“签订劳务派遣合同”的范畴，而是直接的劳动关系建立。不过，它说明了政府机关在特定情况下是可以（且应当）与劳动者签订劳动合同的，只是这种合同不是劳务派遣合同。
法律建议与后果：
- 对于政府机关而言，如果需要使用劳务派遣人员，应确保与有资质的劳务派遣单位签订劳务派遣协议，并明确协议内容，以避免法律风险。
- 同时，政府机关也应遵守相关法律法规，保障劳务派遣人员的合法权益，如按时支付劳动报酬、提供必要的劳动条件等。
- 如果政府机关违反相关规定，如未与劳务派遣单位签订劳务派遣协议或未保障劳务派遣人员的合法权益，可能会面临法律责任，包括被责令改正、罚款等。
总结：政府机关在作为用工单位时，可以（且应当通过劳务派遣单位）间接地与劳动者建立通过劳务派遣形式的关系，即签订劳务派遣合同的相关协议（但实际签订劳动合同的是劳务派遣单位与劳动者）。如果政府机关直接聘用编外人员，则应直接与劳动者签订劳动合同。有问题可以直接向我咨询，我会结合具体情况为你详细解答。