非公索贿者利用他人向被害人索要钱财，这一行为确实可能构成刑事犯罪，具体分析如下：
一、可能构成的罪名
诈骗罪：
- 如果非公索贿者通过虚构事实或隐瞒真相的方式，利用他人向被害人索要钱财，且被害人基于错误认识而交付财物，那么这一行为可能构成诈骗罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十六条，诈骗公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。其中，“数额较大”通常指的是三千元至一万元以上，但具体标准可能因地区而异。
敲诈勒索罪：
- 如果非公索贿者利用他人的恐惧心理（如威胁、恐吓等手段），迫使被害人交付财物，那么这一行为可能构成敲诈勒索罪。
- 敲诈勒索罪的成立并不要求索贿者具有公职身份，只要其使用了威胁或要挟的手段，且数额达到一定标准，即可构成犯罪。
受贿罪共犯（如涉及公职人员）：
- 虽然问题中明确提到是非公索贿者，但如果其与公职人员勾结，共同利用公职人员的职务便利索取他人财物，那么非公索贿者可能构成受贿罪的共犯。
- 在这种情况下，非公索贿者的行为将受到更严厉的刑事制裁。
二、法律后果
- 一旦构成上述任一罪名，非公索贿者将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、管制以及罚金等。
- 处罚的严重程度将取决于犯罪的情节、数额大小以及是否具有其他严重情节等因素。
三、建议与注意事项
- 立即停止违法行为：如果非公索贿者正在实施此类行为，应立即停止，以避免更严重的法律后果。
- 主动投案自首：如果已经构成犯罪，主动投案自首并如实供述罪行，可能获得从轻或减轻处罚的机会。
- 寻求法律帮助：在面临刑事指控时，应尽快寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
举例说明：假设非公索贿者甲通过虚构项目合作的方式，利用乙向丙索要钱财，并承诺给予乙一定的好处费。丙基于对项目合作的信任而交付了财物。后经查实，该项目合作并不存在，甲的行为即构成诈骗罪。如果甲还使用了威胁或要挟的手段迫使丙交付财物，那么甲的行为还可能构成敲诈勒索罪。
总结与提醒：非公索贿者利用他人向被害人索要钱财的行为，可能因具体手段和情节的不同而构成不同的刑事犯罪。因此，建议任何人在面临类似情况时，都应谨慎行事，避免触犯法律。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。