若公司夸大员工工作犯错并以此为由辞退员工，员工可采取以下措施维护自身权益：
一、判断辞退合法性
- 公司需证明员工存在严重违规或重大损害：若公司能证明员工的工作失误严重违反了公司规章制度，或给公司造成了重大损害，那么公司的辞退行为可能是合法的，此时员工无权要求经济补偿。
- 若公司无法证明，则辞退行为违法：若公司无法证明员工的工作失误达到严重程度，或无法证明该失误给公司造成了重大损害，那么公司的辞退行为就可能是违法的，员工有权要求经济补偿或赔偿金。
二、与公司协商
- 要求继续履行合同：若员工认为公司的辞退行为违法，且希望继续在公司工作，可以与公司协商，要求公司继续履行劳动合同。
- 要求支付赔偿金：若员工不希望继续在公司工作，可以与公司协商，要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的两倍，经济补偿则按照员工在公司的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
三、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁
- 向劳动监察部门投诉：若与公司协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门会调查核实公司的辞退行为，若证实公司存在夸大事实辞退员工的情况，会要求公司改正错误，让员工恢复工作，或者给予员工相应的经济补偿。
- 申请劳动仲裁：若员工对劳动监察部门的处理结果不满意，或者劳动监察部门未能在规定时间内作出处理，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，员工需要准备好相关证据，如劳动合同、工资流水、工作失误相关材料、辞退通知等，以证明公司的辞退行为违法。
四、特殊情形下的赔偿
若公司违法辞退员工的行为属于《劳动合同法》规定的特定情形，如孕期、产期、哺乳期辞退女职工等，那么公司不仅要按照正常的经济补偿标准支付，还需要额外按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
五、法律后果与风险提示
- 公司可能面临的法律责任：若公司被证实存在夸大事实辞退员工的行为，除了需要支付经济补偿或赔偿金外，还可能面临劳动行政部门的处罚，影响公司的声誉和信誉。
- 员工需注意的事项：在整个过程中，员工一定要注意留存好相关证据，如劳动合同、工资流水、工作失误相关材料、辞退通知等。这些证据是维护自身权益的基础，若证据不足或丢失，可能会影响员工的维权效果。
示例：假设小张在公司工作期间，因一次小失误被公司夸大为严重违规并辞退。小张认为公司的辞退行为违法，首先与公司协商要求继续履行合同或支付赔偿金。协商无果后，小张向当地劳动监察部门投诉，并提交了劳动合同、工资流水、工作失误相关材料等证据。劳动监察部门调查核实后，证实公司存在夸大事实辞退员工的情况，要求公司改正错误并支付小张相应的经济补偿。若小张对处理结果不满意，还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
建议：若您遇到类似情况，建议首先与公司进行友好协商，若协商无果，则及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身合法权益。在整个过程中，务必注意留存好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。