根据中国法律，当一位独身且无父母的人去世后，其遗产的处理方式主要依据《中华人民共和国民法典》的相关规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、法定继承顺序
首先，我们需要明确的是，遗产的继承有明确的法定顺序。根据《民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
二、无法定继承人且未立遗嘱的情况
若去世者既无法定继承人（即没有配偶、子女、父母、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母），也未立遗嘱，那么其遗产将按照以下方式处理：
继承人以外的对被继承人扶养较多的人：根据《民法典》第一千一百三十一条，这些人可以分给适当的遗产。这通常指的是那些虽然不是法定继承人，但对被继承人生前进行了较多扶养的人，如亲戚、朋友或邻居等。法院在判决时会考虑扶养人对被继承人扶养的具体情况，如扶养时间的长短、扶养方式，以及扶养人与被继承人的亲情关系等。
无人继承又无人受遗赠的遗产：若去世者既无法定继承人，也未立遗嘱，且没有继承人以外的对被继承人扶养较多的人，那么其遗产将归国家所有，用于公益事业。这是根据《民法典》第一千一百六十条的规定。
三、具体案例分析
以您提供的案例为例，赵女士去世时无配偶、子女，也没有兄弟姐妹，父母也已离世，且未立遗嘱。在这种情况下，赵女士的遗产原本应归国家所有。但由于赵女士的叔姑舅姨们均称对其尽了扶养义务，法院根据《民法典》的相关规定，判决赵女士名下的银行存款、人寿保险金和身故后的丧葬费、抚恤金等共计110余万元，由9名原被告（即赵女士的叔姑舅姨们）共同继承，并根据他们各自对赵女士生前的帮扶情况分配了遗产份额。而赵女士的房产则因无法定继承人且未受遗赠，被收归国家所有，由北京市昌平区民政局管理。
四、总结与建议
综上所述，当一位独身且无父母的人去世后，其遗产的处理方式主要取决于是否有法定继承人或继承人以外的对被继承人扶养较多的人。若两者均无，则遗产将归国家所有。因此，对于个人而言，提前立遗嘱并明确遗产分配意愿是非常重要的。这不仅可以确保自己的遗产按照自己的意愿进行分配，还可以避免因遗产问题引发的家庭纠纷和社会矛盾。