客房经理是否需要赔钱，取决于其是否尽到了合理的管理义务，以及是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、从酒店管理责任角度
酒店的安全保障义务：
- 酒店作为经营场所，对入住的客人负有安全保障义务。这包括提供安全的住宿环境，以及采取必要的措施防止客人财物受损或遭受其他损害。
- 如果酒店未能尽到这一义务，例如未对客房内的设施进行定期检查和维护，导致电视等设施存在安全隐患，那么酒店可能需要承担相应的赔偿责任。但这一责任通常归属于酒店整体，而非特定员工如客房经理。
客房经理的管理职责：
- 客房经理作为酒店员工，负责客房的日常管理和维护工作。这包括确保客房内的设施完好无损，以及及时处理客人报告的损坏情况。
- 如果客房经理在管理过程中存在疏忽或过失，例如未及时发现并修复损坏的电视，或者未采取适当措施防止类似事件再次发生，那么其可能需要承担一定的管理责任。但这种责任更多是内部管理责任，而非直接对客人的赔偿责任。
二、从侵权责任角度
侵权人的责任：
- 在本案例中，直接砸坏酒店客房电视的是客人。根据侵权责任法（现为民法典侵权责任编）的相关规定，侵权人应当对其侵权行为造成的损害承担赔偿责任。
- 因此，理论上应由砸坏电视的客人承担赔偿责任。如果客人逃跑无法联系，酒店可以通过法律途径追究其责任，如提起民事诉讼要求赔偿。
酒店及员工的无过错责任：
- 除非酒店或员工存在过错（如未尽到安全保障义务或管理职责），否则一般不需要对客人的侵权行为承担赔偿责任。
- 在本案例中，如果客房经理已经尽到了合理的管理义务，且没有证据表明其存在过错，那么其不需要对砸坏的电视承担赔偿责任。
三、实际操作建议
及时报警并保留证据：
- 发生此类事件后，酒店应立即报警并保留相关证据，如监控录像、损坏物品的照片等。这些证据将有助于后续追究侵权人的责任。
与客人沟通并尝试解决：
- 如果可能的话，酒店可以尝试与逃跑的客人取得联系，要求其承担赔偿责任。这可以通过电话、邮件或其他方式进行。
内部管理审查：
- 酒店应审查内部管理流程，确保类似事件不再发生。这包括加强客房设施的检查和维护工作，以及提高员工的安全意识和应急处理能力。
总结来看，客房经理是否需要赔钱取决于其是否尽到了合理的管理义务以及是否存在过错。如果客房经理已经尽到了职责且没有过错，那么其不需要对砸坏的电视承担赔偿责任。如果有问题，可以直接向我咨询，我会为你提供更详尽的法律分析和建议。