监察机关在调查过程中发现被调查人涉嫌普通刑事犯罪（如故意伤害）的，应当依法将案件移送公安机关立案侦查，并按照规定办理交接手续。具体处理方式如下：

1. 移送程序
   根据《中华人民共和国监察法》第三十四条，监察机关在调查中发现被调查人涉嫌职务犯罪以外的其他犯罪（如故意伤害），若不属于监察机关管辖范围，应当及时将案件移送有管辖权的公安机关。移送时需附相关证据材料，并明确告知公安机关案件来源及调查情况。

2. 管辖权划分

   • 监察机关管辖范围：仅限于公职人员职务违法和职务犯罪（如贪污贿赂、滥用职权等）。
     
   • 公安机关管辖范围：普通刑事犯罪（如故意伤害、盗窃等）。
     若案件同时涉及职务犯罪和普通刑事犯罪，监察机关与公安机关应分别立案、协同调查，必要时可成立联合调查组。

3. 证据衔接
   监察机关在调查中收集的证据材料，经审查符合刑事诉讼要求的，可作为公安机关侦查的证据使用。但需注意证据合法性，例如通过非法手段获取的证据不得移送。

4. 后续处理

   • 公安机关立案后，依法开展侦查、取证工作。
     
   • 监察机关继续完成职务犯罪部分的调查，最终与刑事案件一并移送检察机关审查起诉。
     
   • 若两案存在关联，检察机关可并案处理，确保诉讼效率。

示例：若某公职人员在接受监察调查期间，被查出曾实施故意伤害行为，监察机关应将该线索移送公安机关，由公安机关对故意伤害案立案侦查；监察机关则继续调查其职务违法问题。两案调查终结后，分别移送检察机关，由检察机关决定是否合并起诉。

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