根据《实施弹性退休制度暂行办法》的相关规定，以下三类人员达到法定退休年龄时应当及时办理退休手续，不允许弹性延迟退休：
公务员：公务员作为国家公职人员，其退休年龄和退休程序有严格的规定。在弹性退休制度下，公务员达到法定退休年龄时，应当及时办理退休手续，不得弹性延迟退休。
国有企事业单位领导人员：国有企事业单位的领导人员，由于其职位的特殊性和重要性，其退休年龄和退休程序也有明确的规定。在弹性退休制度下，这类人员达到法定退休年龄时，同样应当及时办理退休手续，不得弹性延迟退休。
国有企事业单位其他管理人员：除了领导人员外，国有企事业单位的其他管理人员，如部门经理、项目经理等，在达到法定退休年龄时，也应当及时办理退休手续，不允许弹性延迟退休。
法律背景与建议：
法律背景：弹性退休制度的实施，旨在适应劳动者多样化需求，满足不同的工作生活安排需要。然而，对于公务员、国有企事业单位领导人员及其他管理人员等特定群体，由于其职位的特殊性和重要性，法律对其退休年龄和退休程序有更为严格的规定。
法律建议：对于上述三类人员，在达到法定退休年龄时，应当及时了解并遵守相关退休规定，办理退休手续。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。
可能的法律后果：
综上所述，公务员、国有企事业单位领导人员及其他管理人员在达到法定退休年龄时，应当及时办理退休手续，不允许弹性延迟退休。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。