当厂方拖欠农民工工资时，农民工可以通过以下部门或途径来维护自己的合法权益：

1. 劳动监察部门

   • 处理依据与流程：根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动保障行政部门有权对用人单位支付劳动者工资的情况实施劳动保障监察。农民工可向用工所在地的劳动保障监察机构（如人力资源和社会保障局）提交书面投诉材料，或通过全国根治欠薪线索反映平台在线举报。监察机构应在接到投诉后5个工作日内决定是否受理，立案后60个工作日内完成调查并作出处理决定。
   • 优势：劳动监察部门具有专业性和权威性，能够依法对拖欠工资的行为进行调查处理，并责令用人单位限期支付工资，逾期不支付的，还可责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。

2. 劳动争议仲裁委员会

   • 适用情形与处理机制：当农民工与厂方就工资支付问题存在争议且无法协商解决时，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需提交仲裁申请书及相关证据材料，仲裁委员会在收到申请后5个工作日内决定是否受理。仲裁庭自受理之日起45日内结案，裁决书具有法律效力，双方不服可在15日内向法院提起诉讼。
   • 优势：仲裁程序相对灵活，审理期限较短，且裁决具有法律效力，能够为农民工提供一种相对快速且有效的维权途径。

3. 人民法院

   • 起诉条件与执行程序：经劳动仲裁后仍无法解决的，农民工可持生效法律文书向基层法院提起民事诉讼。胜诉后若对方拒不履行，可申请强制执行，法院将依法查封财产、冻结账户等措施追讨欠款。此外，农民工也可凭工资欠条直接向法院起诉，要求厂方支付拖欠的工资。
   • 优势：法院的判决具有最高权威性和强制执行力，能够确保农民工的合法权益得到最终实现。

4. 其他辅助渠道

   • 工会协助：已加入工会的农民工可通过工会组织进行协商调解，工会可提供法律咨询和法律援助服务，帮助农民工更好地维护自己的权益。
   • 行业主管部门：涉及特定行业（如建筑工程）的欠薪问题，农民工还可向住建部门等行业主管机构反映，通过专项检查督促整改，解决拖欠工资的问题。

重要提示：

• 在整个维权过程中，农民工应保存好所有相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、银行流水等，这些都是证明劳动关系和工资拖欠情况的关键材料。
• 如果涉及多个部门或复杂情况，建议农民工及时向我咨询，以获取更具体的法律建议和指导。

综上所述，面对厂方拖欠农民工工资的问题，农民工应依据具体情况选择合适的维权途径，并积极配合相关部门的调查和处理工作，以确保自己的合法权益得到有效维护。