当农村土地承包经营许可证不慎遗失时，您不必过于担心，因为按照相关规定，是可以进行补办的。以下是详细的补办流程：

1. 提出申请： 您需要向所在乡（镇）人民政府的农村经营管理部门提出换发或补发的申请。在申请时，请说明您的具体情况，即土地承包经营许可证的遗失情况。

2. 审核申请： 乡（镇）人民政府的农村经营管理部门在收到您的申请后，会对您的身份和土地经营承包权的真实性进行审核。这一步是为了确保补发的证件能够准确无误地发放到合法的承包方手中。

3. 报请原发证机关办理： 审核通过后，乡（镇）人民政府的农村经营管理部门会报请原发证机关办理换发或补发手续。原发证机关将按照相关规定和程序，重新为您发放土地承包经营许可证。

4. 领取新证： 在原发证机关完成换发或补发手续后，您就可以领取到新的土地承包经营许可证了。新证上会注明“换发”或“补发”字样，以区别于初次发放的证件。

此外，我还想提醒您几点注意事项：

• 在补办过程中，请保持与乡（镇）人民政府农村经营管理部门的沟通，及时了解补办进度。
• 如果您发现土地承包经营权存在错误，也应及时向相关部门提出更正申请，以确保您的权益不受损害。
• 农村土地承包经营许可证是确权证，具有重要的法律效力和实际意义，请妥善保管，避免再次遗失。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他关于农村土地承包经营许可证的问题，欢迎随时向我咨询。