在马路上压到鸡，你需要承担的责任及后续处理方式可以归纳如下：

1. 责任认定与赔偿：

   • 责任认定：压到鸡通常被视为一起财产损失事故，而非人身伤害事故。鸡作为家禽，属于财产范畴，因此你需要承担因其死亡而给鸡主人带来的经济损失。
   • 赔偿方式：你有义务对鸡主人进行经济赔偿。赔偿金额通常根据鸡的市场价值、鸡的品种、年龄以及可能产生的其他经济损失（如鸡的繁殖价值等）来确定。如果双方对赔偿金额存在争议，可以协商解决，或者寻求第三方（如保险公司、调解机构等）的协助。

2. 是否构成交通肇事逃逸：

   • 逃逸定义：交通肇事逃逸通常指的是在发生交通事故后，为了逃避法律责任而逃离现场的行为。
   • 压鸡情况：在压到鸡的情况下，如果你没有采取任何不正当行为以逃避可能带来的法律后果，那么这种行为并不应被认定为交通肇事逃逸。因为压鸡通常不涉及人身伤害，且责任明确，即你需要对鸡主人进行赔偿。

3. 后续处理建议：

   • 主动沟通：在压到鸡后，建议主动与鸡主人沟通，说明情况并表达赔偿意愿。这有助于减少双方的矛盾和纠纷。
   • 保留证据：如果可能的话，建议保留现场照片、视频等证据，以便在后续处理中作为证明。
   • 寻求协助：如果双方对赔偿金额存在争议，或者鸡主人提出不合理的赔偿要求，可以寻求保险公司、调解机构或法律专业人士的协助来解决问题。

4. 法律背景与依据：

   • 根据《道路交通安全法》的相关规定，机动车发生交通事故造成财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足的部分，按照各自过错的比例分担责任。因此，在压到鸡的情况下，你可以首先考虑通过保险公司来处理赔偿事宜。

综上所述，在马路上压到鸡后，你需要承担对鸡主人的经济赔偿责任，但并不构成交通肇事逃逸。建议主动与鸡主人沟通并寻求合理的赔偿方式，以减少双方的矛盾和纠纷。如果有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。