职务犯罪减刑申请是一个严格依法进行的司法过程，涉及多个环节。以下是详细的申请流程：
一、满足减刑条件
首先，服刑人员必须满足一定的减刑条件，这些条件主要包括：
- 认真遵守监规：在监狱服刑期间，严格遵守监狱的各项规章制度，积极服从管理。
- 接受教育改造：积极参加监狱组织的各类教育活动，包括思想政治教育、文化知识教育和职业技能培训等，展现出积极改造的态度。
- 确有悔改表现：例如积极退赃，弥补职务犯罪造成的经济损失等行为。
- 有立功表现：如阻止他人实施犯罪活动、检举监狱内外犯罪活动且经查证属实，或在生产、科研中进行技术革新等对国家和社会有贡献的行为。
二、提出减刑申请
- 提交申请材料：服刑人员需向所在监狱提出书面减刑申请，并提交相关证明材料，如悔改表现材料、立功表现证据等。
- 集体评议与审核：分监区或直属分监区会召开全体警察会议，根据法律规定和服刑人员的表现进行集体评议，提出建议，并报经监区长办公会审核同意。
三、监狱内部审查与公示
- 部门审查：监狱的刑罚执行（狱政管理）部门会对报送的材料进行详细审查，出具审查意见，并连同相关材料提交给监狱提请减刑假释评审委员会进行评审。
- 公示与异议处理：评审委员会完成评审后，会将拟减刑罪犯名单及意见在监狱内进行公示，通常为7个工作日。公示期内，如有异议，评审委员会需进行复核并告知结果。
四、监狱长办公会审议决定
评审委员会完成评审和公示后，会将建议及评审报告报请监狱长办公会审议决定。经决定提请减刑的，由监狱长在《罪犯减刑（假释）审核表》上签署意见，加盖监狱公章，并制作相关文件。
五、提交司法机关裁定
- 提交材料：监狱将减刑建议书及相关材料提交给有管辖权的人民法院。具体管辖如下：
- 死刑缓期执行和无期徒刑罪犯的减刑由高级人民法院裁定。
- 有期徒刑（包括减为有期徒刑）罪犯的减刑由中级人民法院裁定。
- 法院审理：人民法院会组成合议庭进行审理，对确有悔改或立功事实的罪犯，裁定予以减刑。审理方式可能是开庭审理，也可能是书面审理，具体取决于案件类型和特殊情况。
六、减刑裁定的宣告与执行
- 裁定宣告：减刑裁定一般由人民法院直接宣告，有困难时可委托罪犯服刑地人民法院或监所代为宣告，且应迅速及时。
- 执行减刑：减刑裁定生效后，监狱等刑罚执行机关会按照裁定内容对罪犯执行减刑，调整刑期信息，并做好后续的监管和教育改造工作。
综上所述，职务犯罪减刑申请是一个涉及多个环节和多方参与的严谨法律过程。每一步都需严格依照法律规定进行，以确保减刑的合法性、公正性和有效性。