大拇指和第二、第三、第四指被砍近节未断离，可能构成的罪名主要取决于行为人的主观意图以及伤害的具体程度。一般来说，这种行为可能涉及以下几种罪名：

1. 故意伤害罪：

   • 如果行为人故意砍伤他人手指，且伤害程度达到轻伤及以上（根据《人体损伤程度鉴定标准》进行鉴定），则行为人可能构成故意伤害罪。故意伤害罪是指故意非法伤害他人身体，达到致人轻伤、重伤或死亡程度的行为。
   • 在这种情况下，根据伤害的具体程度和情节，行为人可能面临不同程度的刑罚，包括有期徒刑、拘役、管制等，并可能附带民事赔偿责任。

2. 故意杀人罪（未遂）或故意伤害致人死亡（未遂）：

   • 如果行为人主观上具有杀人的故意，但由于意志以外的原因（如被害人反抗、及时救治等）未能得逞，则可能构成故意杀人罪（未遂）。
   • 如果行为人虽然故意砍伤他人手指，但并未预见到可能导致被害人死亡的结果，而实际上由于伤害严重导致被害人死亡（或可能死亡但被及时救治），则可能构成故意伤害致人死亡（未遂）或既遂（如果死亡结果确实发生）。

3. 其他相关罪名：

   • 根据具体情况，还可能涉及其他相关罪名，如寻衅滋事罪、聚众斗殴罪等，但这些罪名通常与特定的行为方式和场景相关，需要结合具体案情进行判断。

需要注意的是，罪名的确定和刑罚的轻重不仅取决于伤害的具体程度，还取决于行为人的主观意图、犯罪动机、犯罪手段、社会危害程度以及是否累犯、自首、立功等情节。因此，在具体案件中，需要由司法机关根据事实和证据进行综合判断。

如果你或你身边的人遭遇了类似的情况，建议尽快报警并寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。