检察院作出法定不起诉决定后，公安机关通常应当撤案。下面我详细解释一下这个结论及其背后的法律逻辑：

1. 法定不起诉的情形：
   • 当案件情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪时；
   • 犯罪已过追诉时效期限时；
   • 经特赦令免除刑罚时；
   • 依照刑法规定属于告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉时；
   • 犯罪嫌疑人、被告人死亡时；
   • 其他法律规定免予追究刑事责任时。

在这些法定不起诉的情形下，由于案件从根本上就不符合起诉条件，继续侦查毫无意义，因此公安机关应当撤案。

1. 酌定不起诉的情形：
   • 当犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚时，检察院可以作出酌定不起诉的决定。

在这种情况下，公安机关可以根据案件实际情况决定是否撤案，并非必然撤案。但考虑到案件情节较轻，无需再进行刑事诉讼流程，公安机关通常也会选择撤案。

1. 证据不足不起诉的情形：
   • 当检察院认为证据不足，不符合起诉条件时，会作出证据不足不起诉的决定。

此时，公安机关若认为有新的证据，符合起诉条件的，可以重新移送起诉，而不是必须撤案。但如果没有新的证据，或者补充侦查后仍然证据不足，那么公安机关应当撤案。

综上所述，检察院作出法定不起诉决定后，公安机关通常应当撤案。这是因为案件从根本上就不符合起诉条件，或者情节较轻无需再进行刑事诉讼流程。当然，在特定情况下（如证据不足不起诉），公安机关也可以根据案件实际情况和新的证据情况来决定是否撤案。