可以起诉。如果供应商持有一张对方公司的采购申请付款单，且对方公司未按约定付款，供应商是有权向法院提起诉讼的。以下是对这一问题的详细分析：

1. 合同关系的确认：

   • 采购申请付款单本身可能被视为一种合同或至少构成合同的一部分，它表明了双方之间就采购事项及付款达成了合意。
   • 即使付款单未明确标注为“合同”，但如果其中包含了足够的要素（如双方信息、采购物品、价格、付款条件等），且双方均按此履行，那么它也可能被法院认定为事实合同。

2. 付款义务的存在：

   • 既然采购申请付款单上明确了对方公司应支付的款项，那么对方公司就负有按约定付款的义务。
   • 如果对方公司未履行这一义务，就构成了违约。

3. 起诉的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
   • 供应商作为合同的一方当事人，有权在对方公司违约时向法院提起诉讼，要求其承担违约责任。

4. 起诉前的准备：

   • 供应商应收集相关证据，包括采购申请付款单、双方沟通记录、发货凭证等，以证明合同关系的存在和对方公司的违约行为。
   • 供应商还应考虑起诉的时机和成本，以及可能的诉讼结果和后续执行问题。

5. 诉讼过程中的注意事项：

   • 供应商应确保起诉状内容准确、完整，并符合法院的要求。
   • 在诉讼过程中，供应商应积极配合法院的调查和审理工作，及时提供证据和陈述意见。

综上所述，供应商在持有一张对方公司的采购申请付款单且对方公司未付款的情况下，是有权向法院提起诉讼的。但在起诉前和诉讼过程中，供应商应做好充分的准备和应对工作。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。