工厂员工可以请的医疗病假天数并非固定，而是依据员工的实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定具体的医疗期。以下是详细的解释：

结论前置：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期的长短与员工的实际工作年限和在本单位的工作年限密切相关，从3个月到24个月不等。

医疗期的具体规定：

1. 实际工作年限10年以下的：

   • 在本单位工作年限5年以下的，医疗期为3个月；
   • 5年以上的，医疗期为6个月。

2. 实际工作年限10年以上的：

   • 在本单位工作年限5年以下的，医疗期为6个月；
   • 5年以上10年以下的，医疗期为9个月；
   • 10年以上15年以下的，医疗期为12个月；
   • 15年以上20年以下的，医疗期为18个月；
   • 20年以上的，医疗期为24个月。

医疗期的计算方式： 医疗期是按照一定时间内累计病休时间来计算的。例如，医疗期三个月的，按六个月内累计病休时间计算；六个月的，按十二个月内累计病休时间计算，以此类推。

特殊疾病的处理： 对于患特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等）的员工，在24个月内尚不能痊愈的，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。

医疗期内的权益： 在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，并且需要按照规定支付病假工资或疾病救济费。这是为了保障员工在患病或非因工负伤期间的合法权益。

实际操作建议：

• 员工在请病假时，应了解并遵守工厂的规章制度以及当地的劳动法规。
• 如有任何疑问或争议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供法律意见和帮助。

综上所述，工厂员工可以请的医疗病假天数是根据个人实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定的医疗期，并非固定天数。在医疗期内，员工享有相应的权益保障。