试用期被辞退，劳动手册上不可以不登记这家公司。以下是详细的分析：
法律背景
劳动手册是记录劳动者工作经历、劳动关系变动等重要信息的官方文件。在劳动者与用人单位建立劳动关系期间，无论是正式期还是试用期，用人单位都有义务按照相关规定，在劳动手册上如实记录劳动者的相关信息，包括入职、离职、工作岗位、薪资待遇等。
具体分析
试用期与正式期的关系：
- 试用期是劳动关系的一种特殊形式，但它仍然是劳动关系的一部分。
- 在试用期内，劳动者与用人单位之间的权利义务关系与正式期并无本质区别，只是某些方面（如薪资待遇、解除劳动关系的条件等）可能有所不同。
劳动手册的登记要求：
- 劳动手册是劳动者职业生涯的重要记录，必须真实、准确、完整地反映劳动者的劳动关系变动情况。
- 用人单位在劳动者入职时，应当在劳动手册上登记入职信息；在劳动者离职时，也应当登记离职信息。
试用期辞退的登记：
- 如果劳动者在试用期内被辞退，用人单位仍然需要在劳动手册上如实登记这一信息。
- 不登记或虚假登记都是违反劳动法律法规的行为，可能会给劳动者和用人单位带来不必要的法律纠纷。
法律建议
- 对于劳动者来说，应当妥善保管自己的劳动手册，并定期检查其记录内容是否准确、完整。
- 对于用人单位来说，应当严格按照相关规定，在劳动手册上如实记录劳动者的相关信息，以避免可能的法律纠纷。
综上所述，试用期被辞退后，用人单位应当在劳动手册上如实登记这家公司的信息。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。