随父或母再婚组建新的家庭，子女与再婚父母及再婚父母的新配偶之间形成的是继父母子女关系。
在我国法律中，继父母和继子女之间的关系，可因继父母和继子女之间是否形成抚养教育关系而不同。具体来说：
形成抚养教育关系的：如果继子女尚未成年，且随生父或生母与继父或继母共同生活，继父或继母对其承担了抚养教育义务，那么继子女与继父母之间就形成了抚养教育关系，此时他们之间的权利义务关系，适用法律关于父母子女关系的规定。也就是说，继父母有抚养教育继子女的义务，继子女也有赡养扶助继父母的义务，他们之间是法律拟制的直系血亲关系。
未形成抚养教育关系的：如果继子女已经成年，或者虽然未成年但不随继父或继母生活，继父或继母也未对其承担抚养教育义务，那么他们之间就不形成抚养教育关系，仅是一种姻亲关系，没有法定的权利义务关系。但此时，如果继父母对继子女进行了抚养教育，那么他们之间也可以形成事实上的抚养关系，从而产生一定的权利义务。
综上所述，随父或母再婚组建新的家庭后，子女与再婚父母及新配偶之间的关系主要取决于是否形成了抚养教育关系。如果形成了抚养教育关系，则他们之间的权利义务关系适用法律关于父母子女关系的规定；如果未形成抚养教育关系，则他们之间仅是一种姻亲关系。如有更多关于婚姻家庭方面的问题，欢迎随时向我咨询。