发生医疗事故纠纷时，医疗机构应当按照以下步骤进行处理：

一、及时报告

医疗机构相关人员应立即向本机构负责医疗服务质量监控的部门或者专（兼）职人员报告。发生重大医疗纠纷时，还需按照规定向所在地县级以上地方人民政府卫生主管部门报告，确保上级部门能够及时了解情况并给予指导。

二、安抚沟通

在事故发生后，医疗机构应迅速安排专门人员与患者或其家属进行沟通交流。沟通时，需认真倾听他们的意见和诉求，对其提出的疑问进行及时、准确的解答，以有效缓解紧张气氛，避免矛盾进一步激化。

三、调查核实

医疗机构应组织相关人员对医疗纠纷进行全面、客观的调查。调查过程中，需详细查阅病历资料、询问相关医护人员等，以明确事件的经过和原因，并判断医疗机构自身是否存在过错。

四、封存资料

为确保后续处理工作的顺利进行，医疗机构应对可能涉及医疗纠纷的病历资料、现场实物等进行封存。封存的病历资料可以是原件，也可以是复制件，但需确保资料的完整性和真实性。

五、协商解决

在调查核实的基础上，医疗机构可与患者或其家属就纠纷处理进行协商。协商时，应本着平等自愿的原则，充分尊重双方的权益。若双方能够达成一致意见，则需制作协议书并共同履行。

六、第三方调解

若双方不愿协商或协商不成，医疗机构可建议患者或其家属通过人民调解等第三方调解途径解决纠纷。第三方调解机构通常具有丰富的调解经验和专业知识，能够更有效地化解矛盾。

七、诉讼应对

如患者提起诉讼，医疗机构应积极应诉。应诉过程中，需准备充分的证据材料，配合法院的审理工作。同时，医疗机构也应保持冷静、理性的态度，依法维护自身的合法权益。

综上所述，发生医疗事故纠纷时，医疗机构应严格按照上述步骤进行处理，以确保纠纷能够得到妥善解决。同时，医疗机构也应加强内部管理，提高医疗服务质量，从源头上减少医疗纠纷的发生。