当居民被困电梯并希望申请赔偿时，可以按照以下步骤进行：
一、明确责任主体
首先，需要明确导致电梯故障的责任主体。通常情况下，电梯的运营维护单位（如物业公司）负责电梯的日常维护和保养。如果电梯故障是由于维护不及时或设备故障未妥善处理等原因导致的，那么运营维护单位需要承担赔偿责任。
二、收集证据
在申请赔偿之前，居民应尽可能收集相关证据以支持其索赔请求。这些证据可能包括：
- 监控视频：如果电梯内或周边区域有监控摄像头，应尝试获取被困时的监控视频。
- 医院诊断证明：如果因被困电梯导致身体受伤，应前往医院就医并获取诊断证明。
- 物品损坏凭证：如果因被困造成随身携带的物品损坏，应保留损坏物品的照片或购买凭证。
- 维修记录：如果可能，尝试获取电梯的维修记录，以证明运营维护单位是否存在维护不当的情况。
三、确定赔偿范围
赔偿范围通常包括以下几个方面：
- 人身损害赔偿：如医疗费、误工费、护理费、交通费等因治疗和康复支出的合理费用。如果因电梯故障导致残疾或死亡，还应包括辅助器具费、残疾赔偿金、丧葬费和死亡赔偿金等。
- 财产损失赔偿：如因被困造成的衣物损坏或其他随身携带物品的损失。
- 精神损害抚慰金：如果因被困电梯导致精神受到损害，可以主张精神损害抚慰金。
四、协商与起诉
- 协商：在收集到足够证据后，首先尝试与责任方（如物业公司）进行协商，讨论赔偿事宜。
- 起诉：如果协商不成，居民可以通过向法院提起诉讼的方式维权。在诉讼过程中，需要提交相关证据以支持其索赔请求，并要求责任方按照法律规定承担相应赔偿责任。
五、注意事项
- 诉讼时效：请务必在法定诉讼时效内主张权利。一般民事侵权诉讼时效为三年，超过时效可能无法获得法律支持。
- 保留证据：在整个过程中，务必妥善保留所有相关证据，以便在需要时提供证明。
- 法律援助：如果居民对法律程序不熟悉或无法自行处理，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。
总之，当居民被困电梯并希望申请赔偿时，应明确责任主体、收集证据、确定赔偿范围，并与责任方进行协商或起诉以维护自身权益。