当您遇到第三方全责但未交保险，希望申请自己的保险公司先行垫付修理费的情况时，您可以考虑以下几种处理方式：

首先，您可以尝试与对方协商解决。明确告知对方其负有事故的全部责任，并展示修车费用清单和相关证据，以说明费用的合理性和必要性。如果对方同意垫付费用，建议签订书面协议，以确保双方的权利和义务得到明确。

若协商无果，您可以联系对方保险公司并申请代位求偿。尽管对方未购买保险，但若您自己的保险合同中包含了代位求偿的条款，您可以向自己的保险公司提出申请。保险公司可能会根据合同约定先行赔付您的修理费用，并代替您向责任方进行追偿。在此过程中，您需要提供事故责任认定书等相关材料以支持您的申请。

此外，您还可以申请公安机关交通管理部门进行调解。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，公安机关交通管理部门有权对交通事故进行调解。在调解过程中，您可以提出您的诉求，并依据提供的证据和情况，寻求一个双方都能接受的解决方案。

如果上述方法均未能解决问题，您可能需要通过法律手段来解决纠纷。您可以委托律师向对方发送催款函，明确告知支付期限及逾期不支付的法律后果。若对方仍然不理会，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，并在诉讼中提供充分证据以证明对方的责任和您的损失。若获得法院支持，您还可以申请强制执行，以确保判决得到履行。

在整个处理过程中，请务必保留好所有相关证据和文件，如事故责任认定书、车辆维修发票、维修清单、沟通记录等。这些证据将对您维护自己的权益起到至关重要的作用。

综上所述，虽然第三方全责且未交保险可能给您的车辆修理带来一些困扰，但您有多种法律途径可供选择来维护自己的权益。请根据实际情况选择最合适的方式，并在必要时咨询专业律师的意见。