为员工垫付欠薪后，追讨欠薪的责任通常由垫付方（可能是用人单位、其他组织或个人）承担，追讨途径与劳动者自行维权时相似。以下是可以考虑采取的步骤和相关部门：

1. 初步协商：

   • 首先，尝试与欠薪的用人单位进行友好协商，明确欠薪事实和垫付情况，要求用人单位尽快偿还垫付的工资。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 如果协商无果，可以向用工所在地的劳动保障监察机构投诉。劳动监察部门负责监督检查用人单位遵守劳动法律、法规的情况，并处理相关举报和投诉。
   • 投诉时，需准备好垫付工资的相关证据，如劳动合同、工资条、垫付凭证等，以证明劳动关系和垫付事实。

3. 向行业主管部门举报（如适用）：

   • 如果欠薪涉及工程建设领域，且因违法发包、转包、违法分包、挂靠、拖欠工程款等造成，还可以向住房城乡建设、交通运输、水利等相关行业工程建设主管部门举报投诉。

4. 申请劳动争议调解仲裁：

   • 若劳动监察部门未能解决问题，或者希望直接通过法律途径解决，可以向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
   • 仲裁申请需提交相关证据材料，包括劳动合同、工资条、垫付凭证、仲裁申请书等。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。

5. 向人民法院提起诉讼：

   • 对仲裁结果不服，或者符合特定情形（如持有工资欠条），可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。
   • 诉讼过程将依据民事诉讼法的规定进行，法院将依法作出判决。如果持有工资欠条等直接证据，还可以直接向人民法院申请支付令，追索劳动报酬。

6. 寻求工会帮助（如适用）：

   • 如果所在单位有工会，也可以向工会反映情况，寻求工会的支持和帮助。工会作为劳动者的代表，有权代表劳动者与用人单位交涉，要求解决欠薪问题。

在整个追讨过程中，保留好所有与欠薪和垫付相关的证据至关重要。这些证据将是维权成功的关键。同时，也要注意时效性要求，如仲裁申请一般应在劳动争议发生之日起一年内提出。

综上所述，为员工垫付欠薪后，可以通过初步协商、向劳动监察部门投诉、向行业主管部门举报（如适用）、申请劳动争议调解仲裁、向人民法院提起诉讼以及寻求工会帮助（如适用）等途径来追讨欠薪。