在我国，针对判决书的上诉次数是有限制的。通常情况下，判决书下来后，当事人可以上诉一次。下面我将对此进行详细解释：

1. 上诉次数的法律规定：

   • 我国实行两审终审制，即一个案件经过两级人民法院审判后即告终结。因此，当事人对一审判决不服时，通常仅有一次上诉机会。

2. 上诉期限：

   • 民事和行政诉讼中，当事人对地方人民法院的一审判决不服，可以在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。
   • 刑事诉讼中，被告人、自诉人和他们的法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决，有权在判决书送达之日起十日内用书状或者口头向上一级人民法院上诉。

3. 二审判决的效力：

   • 二审法院作出的判决是终审判决，一经送达即发生法律效力，当事人不能再就该判决提起上诉。

4. 再审程序：

   • 如果当事人认为终审判决确有错误，可以通过审判监督程序申请再审。但再审并非上诉程序，而是对已经发生法律效力的判决、裁定进行重新审查的一种特殊程序。
   • 再审的申请有严格的条件限制，并且不必然启动再审审理。法院会对再审申请进行审查，只有符合法定再审事由时，才会裁定再审。

综上所述，判决书下来后，当事人通常可以上诉一次。如果错过了上诉期限或者二审判决已经生效，当事人就不能再就该判决提起上诉。但如果认为终审判决有误，可以通过审判监督程序申请再审来寻求救济。