当您的信用卡逾期且发现银行客服电话打不通时，这确实是一个需要尽快解决的问题。以下是一些详细且具体的步骤，帮助您有效应对这一情况：

一、确认并核对客服电话

首先，请确保您拨打的客服电话是银行官方提供的准确号码。这个号码通常可以在银行的官方网站、信用卡的背面或账单上找到。如果号码无误但仍然无法接通，可能是因为客服线路繁忙。此时，您可以尝试在非高峰时段（如工作日的上午或下午较晚时）再次拨打。

二、利用线上渠道联系银行

1. 银行官方网站：访问您所持信用卡所属银行的官方网站，并寻找“信用卡服务”或“客户服务”板块。利用在线聊天窗口与客服人员沟通，说明您的情况并寻求帮助。

2. 手机银行APP：如果您已经安装了银行的手机银行APP，可以通过其中的“客服”或“在线客服”功能与银行取得联系。如果客服繁忙，您还可以使用留言功能详细描述您的问题，并等待回复。

3. 银行官方社交媒体：关注银行的官方微信公众号或其他社交媒体账号（如微博），并通过私信或留言的方式咨询您的问题。许多银行都会在这些平台上提供客服支持。

三、前往银行网点或联系开户行

如果线上渠道无法解决问题，您可以考虑前往银行的一家线下营业网点。携带您的有效身份证件和信用卡，向大堂经理说明情况，并寻求专业工作人员的帮助。他们可以查询您的逾期记录，并提供还款建议。另外，如果您知道信用卡的开户行信息，也可以直接前往或通过电话联系开户行，以获取更高效的解决方案。

四、采取其他途径解决问题

如果上述方式均无法解决问题，您可以考虑采取以下途径：

1. 向监管部门投诉：您可以向当地金融监管部门（如中国银保监会）投诉。拨打12378银行保险消费者投诉维权热线，清晰准确地反映您的问题。

2. 寻求消费者协会帮助：向当地消费者协会投诉，并获取咨询和帮助。您可以拨打12315消费者投诉举报专线进行操作。

五、重要提示

• 及时行动：一旦发现信用卡逾期，应立即采取行动与银行联系，以避免信用记录受损及产生额外费用。
• 定期检查：定期检查您的信用卡账户，了解账单情况和还款日期，合理规划财务状况，确保按时还款。
• 预防为主：通过设置提醒、自动还款等方式，预防信用卡逾期情况的发生。

通过遵循以上步骤，您应该能够有效地解决信用卡逾期且客服电话打不通的问题，并维护您的良好信用记录。同时，也请您时刻保持联系方式的畅通，以便银行在必要时能够及时与您取得联系。