当吹风机燃烧后，您可以按照以下步骤来申请赔偿，以确保您的权益得到充分保护：

一、立即收集证据

1. 购买凭证：请务必保留购买吹风机时的订单截图、发票或收据，这些将作为您购买该产品的直接证据，包括购买时间、地点以及产品型号等重要信息。

2. 商品照片：拍摄燃烧后的吹风机照片，以及因燃烧导致的其他受损物品的照片。这些照片将直观地展示损害情况，有助于后续的赔偿申请。

3. 受损证明：如果吹风机燃烧导致了其他财产损失，如烧毁的衣物、家具等，请提供相关证明，如购买凭证、损坏物品的照片等。

4. 医疗证明：如果您或他人因吹风机燃烧而受伤，务必及时就医，并保留好诊断证明、病历以及医疗费票据等，作为人身伤害赔偿的依据。

二、与商家协商

1. 详细说明情况：向商家详细阐述吹风机燃烧的情况，包括发生时间、地点、原因以及造成的损害等，并提出您的赔偿要求。

2. 提出赔偿方案：您可以要求商家退货、换货、修理，并承担由此产生的相关费用。同时，根据损害情况，您还可以要求商家赔偿因燃烧导致的直接经济损失。

三、投诉举报

1. 消费者协会投诉：如果商家拒绝赔偿或协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉，寻求其调解和帮助。

2. 工商行政管理部门举报：同时，您也可以向当地的工商行政管理部门举报商家的不法行为，如销售存在质量问题的产品等。

四、法律诉讼

1. 准备材料：如果上述途径均无法解决问题，您可以考虑向法院提起诉讼。在此之前，请确保您已收集到充分的证据材料，以支持您的诉讼请求。

2. 提起诉讼：向法院提交起诉状及相关证据材料，要求商家依法赔偿因吹风机燃烧导致的损失。在诉讼过程中，请遵循法院的指导和程序要求。

法律依据

根据《中华人民共和国消费者权益保护法》和《中华人民共和国产品质量法》等相关法律法规，消费者在购买、使用商品时享有合法权益。如果因产品质量问题导致人身伤害或财产损失，消费者有权向商家提出索赔要求。商家作为销售者，应提供符合质量要求的商品，并承担因产品质量问题导致的侵权责任或违约责任。

综上所述，当吹风机燃烧后，您应立即收集证据，与商家协商赔偿事宜，并在必要时采取投诉举报或法律诉讼等措施来维护自己的合法权益。