您的农村股份证被偷后，应尽快采取法律措施以补办新证并寻求可能的赔偿。以下是对此问题的详细分析：

一. 及时报案并声明遗失

1. 报案：首先，您应立即向当地公安机关报案，说明您的农村股份证被偷的情况。报案记录将成为您后续补办股份证和可能追究侵权责任的重要依据。

2. 声明遗失：您可以在当地报纸上刊登遗失声明，声明您的农村股份证已经遗失，并声明该证作废。这一步骤有助于防止他人冒用您的股份证进行非法活动。

二. 申请补办股份证

1. 向发证单位申请补办：根据《中华人民共和国农村土地承包经营权证管理办法》第十七条的规定，农村土地承包经营权证（包括农村股份证）严重污损、毁坏、遗失的，承包方应向乡（镇）人民政府农村经营管理部门申请换发、补发。因此，您应向当地乡镇政府或街道办事处（具体为负责农村集体产权管理的部门）提出补办申请。

2. 准备相关材料：在申请补办时，您可能需要提供以下材料：

   • 身份证明（如身份证、户口本等），以证明您的身份及与遗失股份证的关联。
   • 遗失声明（如已在报纸上刊登，需提供相关报纸版面或复印件）。
   • 其他可能要求的材料，如村集体经济组织出具的相关证明等。

3. 等待审核与补办：提交申请和相关材料后，乡镇政府或街道办事处将进行审核。审核通过后，将按照程序为您补办新的农村股份证。

三. 寻求侵权赔偿

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十二条的规定，侵害他人人身权益造成财产损失的，按照被侵权人因此受到的损失或者侵权人因此获得的利益赔偿。虽然该条款主要针对人身权益的侵害，但在您的案例中，股份证被偷导致的潜在经济损失（如分红权被侵害）也可视为一种财产损失。

2. 维权途径：

   • 协商与调解：您可以尝试与可能的侵权人（如小偷）进行协商，要求其赔偿您的损失。如果协商不成，您可以寻求当地人民调解委员会的帮助进行调解。

   • 向法院起诉：如果协商和调解均无法解决问题，您可以向人民法院提起诉讼，要求侵权人赔偿您的经济损失。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明您的股份证被偷以及因此遭受的经济损失。

我建议：在补办股份证的同时，您也应积极寻求侵权赔偿以维护自己的合法权益。同时，请妥善保管好您的个人财物和证件，避免类似情况再次发生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。