建设银行信用卡逾期一个月后还清，可能会产生以下后果和影响：

一、缴纳逾期罚息

信用卡逾期一个月，建设银行会根据逾期金额和逾期时间计算罚息。一般信用卡的逾期利率为每天万分之五，并且按月计收复利。这意味着，拖欠的时间越长，累积的利息就越多。因此，在还清欠款时，除了本金外，还需要支付这部分额外的罚息。

二、信用卡使用受限

逾期一个月后，信用卡可能无法正常使用了。建设银行可能会将逾期信用卡的状态调整为止付，即使还清欠款，信用卡也可能会被降低额度。如果继续长时间拖欠，信用卡甚至可能会被封卡，彻底失去使用资格。

三、个人征信受损

建设银行信用卡的还款宽限期只有3天，超过这个时间未还款，建设银行就会将逾期还款记录上传至中国人民银行征信系统。这将在个人征信报告中留下不良记录，对日后办理信贷业务产生负面影响。即使还清欠款，这个不良记录也会持续五年，期间可能会影响申请贷款、信用卡及其他金融服务。

四、面临催收压力

如果逾期时间过长，且经建设银行工作人员催收多次无果，建设银行可能会采取更进一步的催收措施，甚至起诉至法院要求持卡人还款。虽然一个月逾期可能不会立即面临起诉，但催收电话和短信的骚扰是不可避免的。这会给持卡人带来一定的心理压力和生活困扰。

综上所述，建设银行信用卡逾期一个月后还清，虽然可以避免更严重的后果（如被起诉、信用卡被封等），但仍然需要承担罚息、信用卡使用受限、个人征信受损以及催收压力等后果。因此，建议持卡人务必按时还款，如遇还款困难应及时与银行沟通，寻求延期还款、分期还款等解决方案，以减轻还款压力并避免逾期带来的不良后果。