当法院判决下来后，对方迟迟没有履行赔偿，您应该向法院申请强制执行。以下是详细的解答和建议：

1. 向法院申请强制执行：

   • 根据法律规定，生效的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行，另一方可向一审法院或与一审法院同级的被执行财产所在地法院申请执行。
   • 申请执行时，需在法定期限内准备好强制执行申请书、生效法律文书原件等材料。
   • 法院受理后，会采取查询、冻结存款，查封、拍卖财产等措施来执行判决，以保障您的合法权益。

2. 其他辅助措施：

   • 您还可以申请将对方列入失信被执行人名单，限制其高消费，以此促使其履行赔偿义务。
   • 若发现对方有其他可执行财产线索，应及时告知法院，以便法院更高效地执行判决。

3. 执行过程中的注意事项：

   • 在执行过程中，若对方确实没有可供执行的财产，执行程序可能会暂时中止。但一旦发现对方有财产线索，您可随时申请恢复执行。
   • 请保持与法院的沟通，及时了解执行进展，并积极配合法院提供必要的协助。

综上所述，当法院判决下来后对方迟迟没有履行赔偿时，您应首先向法院申请强制执行，并准备好相关材料。同时，您还可以考虑采取其他辅助措施来促使对方履行赔偿义务。在执行过程中，请保持与法院的沟通，并积极配合法院的工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。