老师嫖娼被抓后，是不可以不拘留的。嫖娼属于违法行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于卖淫、嫖娼的行为，公安机关将处以十天以上十五天以下的拘留，并可以并处五千元以下的罚款。这是法律对违法行为人的明确惩戒措施。

同时，法律也规定了不执行行政拘留处罚的特定适用对象，如已满十四周岁不满十六周岁的未成年人、已满十六周岁不满十八周岁且初次违反治安管理的未成年人、七十周岁以上的老年人，以及怀孕或者哺乳自己不满一周岁婴儿的妇女。这些规定主要是出于对特定人群的保护和人道主义考虑。

然而，对于不符合上述特定条件的违法行为人，如老师等成年人，在涉嫌嫖娼的情况下，是必须要接受行政拘留处罚的。此外，嫖娼被抓后，公安机关还会在决定行政拘留后的二十四小时内通知家属。

值得注意的是，嫖娼被抓拘留并不会留下案底。因为案底通常指的是涉嫌刑事犯罪并受到刑事处罚的记录，而嫖娼属于违反治安管理行为，接受的是行政处罚，所以不会留下案底。

综上所述，老师嫖娼被抓后是不可以不拘留的，必须依法接受行政拘留处罚。同时，也提醒广大公众要遵守法律法规，不要触碰法律红线。