监视居住是刑事诉讼中的一项重要强制措施，由公安机关负责执行。以下是对公安机关如何执行监视居住的详细解答：

一、执行方式

1. 指定居住处所：

   • 公安机关会指定被监视居住人的居住处所，通常是在其住处执行，无固定住处的，则可以在指定的居所执行。但不得在羁押场所、专门的办案场所执行。

2. 限制活动范围：

   • 被监视居住人在监视居住期间，不得离开指定的居住处所，确有需要离开的，必须向执行监视居住的机关报告，并获得同意。

3. 不定期检查：

   • 公安机关会不定期地对被监视居住人的居住处所进行检查，确保其遵守监视居住的规定，如是否擅自离开、是否有违规行为等。

4. 技术监控：

   • 公安机关可能会运用技术手段，如GPS定位、安装监控设备等，对被监视居住人的行动进行监控，以掌握其行踪和确保安全。

5. 定期报告活动情况：

   • 被监视居住人需要定期向公安机关报告自己的活动情况，包括日常起居、会见他人等方面的信息。

6. 通信监控：

   • 公安机关会对被监视居住人的通信进行监控，以防止其传递违法信息或与他人串供。

二、违规处理

如果被监视居住人违反监视居住的规定，公安机关会根据情节轻重采取相应的处理措施，包括：

• 警告：对轻微违规行为进行口头或书面警告。
• 罚款：对较为严重的违规行为处以罚款。
• 拘留：对严重违规行为，如擅自离开指定居住处所、拒不报告活动情况等，可以处以拘留。
• 逮捕：在特定情况下，如被监视居住人涉嫌新的犯罪或严重违反规定，公安机关可以依法将其逮捕。

三、执行监督与维权

1. 内部监督：

   • 公安机关内部设有监督机构，对执行监视居住的行为进行监督，确保依法执行。

2. 外部监督：

   • 被监视居住人及其家属、律师等有权对执行行为进行监督，并可以向公安机关提出异议或申诉。
   • 人民检察院作为法律监督机关，也有权对公安机关的监视居住执行行为进行监督。

3. 维权途径：

   • 如果认为公安机关的执行行为侵犯了自己的合法权益，被监视居住人及其家属可以通过申请复议、提出控告、行政诉讼等途径进行维权。

综上所述，公安机关在执行监视居住时，会采取多种措施确保被监视居住人遵守规定，并依法对违规行为进行处理。同时，也接受内部和外部的监督，以确保执行行为的合法性和公正性。