针对您提出的问题，关于孩子在学校里被打伤，导致轻微伤和精神抑郁中度，且司法鉴定存在因果关系，法院会如何判决，以下是我的详细分析：
首先，我们需要明确的是，此案件涉及的是侵权损害赔偿，特别是人身损害赔偿和精神损害赔偿。法院在判决时会综合考虑多个因素，包括但不限于侵权行为的性质、损害后果的严重程度、侵权人与受害人的过错程度、因果关系等。
关于人身损害赔偿：
- 既然孩子被打伤并鉴定为轻微伤，那么根据《民法典》等相关法律规定，侵权人（或其监护人，如果侵权人是未成年人）需要承担相应的赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。
- 如果因伤致残，还需要赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费等。
关于精神损害赔偿：
- 既然司法鉴定已经确认孩子的精神抑郁与被打伤存在因果关系，那么受害人有权要求精神损害赔偿。
- 精神损害赔偿的数额会根据侵权人的过错程度、侵权行为所造成的后果、侵权人的经济能力、受诉法院所在地平均生活水平等因素综合考虑。
关于责任划分：
- 法院会审查双方（或多方）的过错程度，包括受害人在内的各方对损害发生的原因力大小，从而确定各自的责任比例。
- 如果学校未尽到教育、管理职责，使未成年人在校期间遭受人身损害，学校也可能需要承担相应的补充责任。
关于证据和程序：
- 受害人需要提供充分的证据来证明侵权行为、损害后果以及因果关系，包括医疗记录、司法鉴定报告、证人证言等。
- 法院会按照法定程序进行审理，包括开庭、举证、质证、辩论等环节，最终作出判决。
综上所述，法院在判决此类案件时会综合考虑多个因素，并根据具体情况作出公正、合理的判决。如果您需要更具体的法律建议或帮助，请随时向我咨询。