劳动仲裁判决劳动关系存在时，单位应承担的责任主要包括以下几个方面：
社会保险缴纳责任：如果仲裁认定劳动关系成立，单位需依法为劳动者缴纳社会保险，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。这些保险是劳动者应享有的基本权益，单位必须履行缴纳义务。
工资支付责任：单位需按照劳动合同约定和法律规定，及时足额向劳动者支付工资。如果因未签订书面劳动合同而引发仲裁，且用工之日起超过一个月不满一年未签订合同的，单位需向劳动者支付双倍工资；满一年仍未签订的，视为已订立无固定期限劳动合同，但仍需支付十一个月的双倍工资。
工伤赔偿责任：如果劳动者因工作受伤或患职业病被认定为工伤，单位需承担工伤赔偿责任。这包括支付工伤医疗费、康复费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等费用。
其他法定责任：除了上述责任外，单位还需履行其他法定责任，如提供劳动保护、遵守劳动法规等。如果单位违反劳动法规，还可能面临行政处罚、民事赔偿等法律后果。
综上所述，劳动仲裁判决劳动关系存在时，单位应承担的责任是多方面的，包括社会保险缴纳、工资支付、工伤赔偿以及其他法定责任。单位应依法履行这些义务，保障劳动者的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。