小孩玩攀岩摔伤，责任应由户外体育公司承担。下面我将对此进行详细分析：
一. 责任判定
- 经营者安全保障义务：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条第一款，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，户外体育公司作为攀岩项目的经营者，有责任确保提供的设施（如绳索）安全可靠，符合保障人身安全的要求。
- 经营者过错：由于户外体育公司提供的绳索断裂，导致小孩摔伤，这明显表明户外体育公司未尽到安全保障义务，存在严重的过错。因此，户外体育公司应当承担侵权责任。
二. 赔偿考虑
- 赔偿项目的必要性、合理性：消费者在受到损害时，在合理界定赔偿项目时应考虑其必要性、合理性以及与事故的直接相关性。例如，小孩因摔伤导致的医疗费用、护理费用、以及因无法上学而产生的家教费用等，均属于合理且必要的赔偿项目。
- 赔偿证据：在协商、调解过程中，消费者应附上相关证明文件，如医院证明、家教合同、支付凭证等，以作为损失的一部分请求侵权方赔偿。
三. 维权途径
- 投诉：当合法权益受到损害时，消费者可拨打12345向相关行政部门或到商家所在地的消委会进行投诉，以维护自身权益。
- 法律途径：若协商、调解无果，消费者还可以通过法律途径追究户外体育公司的侵权责任。
综上所述，小孩玩攀岩摔伤，责任应由户外体育公司承担。我建议您在与户外体育公司协商赔偿事宜时，务必保留好相关证据，并明确赔偿项目和金额。如有进一步需要，您可以继续咨询我。