当债务人死亡后，其欠下的债务处理方式主要取决于是否存在遗产以及债务的性质。以下是对这一问题的详细解答：
一、存在遗产的情况
继承人承担债务：
- 若债务人留有遗产，其继承人在继承遗产的范围内需承担债务清偿责任。这意味着，继承人继承了多少遗产，就需要在相应范围内偿还债务。
- 如果遗产已被分割但债务未清偿，法定继承、遗嘱继承和遗赠并存的，先由法定继承人用其所得遗产清偿债务；不足部分，由遗嘱继承人和受遗赠人按比例用所得遗产偿还。
放弃继承的免责：
- 继承人如果放弃继承，则对被继承人依法应当缴纳的税款和债务不负清偿责任。
二、不存在遗产或遗产不足以清偿债务的情况
债务消灭：
- 若债务人没有留下遗产，或者遗产不足以清偿全部债务，那么在没有其他特殊情况下（如夫妻共同债务），债务一般随之消灭。
夫妻共同债务：
- 如果债务为夫妻共同债务，即使一方死亡，另一方仍需承担连带清偿责任。
三、特殊情况下的债务处理
有保证人：
- 如果债务有保证人，在保证期间内，债权人可以要求保证人按照约定承担保证责任来偿还债务。
证据与追讨：
- 对于没有欠条的情况，债权人需要寻找其他能证明债务关系的证据，如转账记录、聊天记录、证人证言等。
- 若有这些证据，可通过法律途径追讨；若无直接证据，但确定有可继承的遗产，可向法院起诉要求继承人在继承遗产范围内偿还债务。
四、法律依据
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条的规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
综上所述，处理债务人死亡后的债务问题需综合考虑遗产情况、债务性质以及是否存在特殊情形（如夫妻共同债务、保证人等）。在处理过程中，应严格遵循法律规定，确保各方权益得到妥善保护。