债务人死亡后，其遗留的多个债务的处理方式主要依赖于其遗产的状况以及继承情况。以下是对这一问题的详细解答：
一、债务处理的基本原则
遗产存在与否：
- 若债务人留有遗产，首先需确定遗产管理人，由其负责清理遗产并用于偿还债务。
- 若债务人没有遗产，则债权债务关系自然消灭，债权人无法再向其他人主张债权。
继承人的责任：
- 法定继承：若存在法定继承人，并且继承人选择继承遗产，则继承人需在继承遗产的实际价值范围内对债务人的债务承担清偿责任。清偿顺序通常按照债务的比例进行。
- 遗嘱继承与遗赠：若存在遗嘱继承人或受遗赠人，并且他们选择接受遗产，则需在继承或受遗赠的财产范围内对债务进行清偿。
- 放弃继承：若继承人明确表示放弃继承遗产，则无需承担债务人的债务。
二、债务清偿的具体流程
遗产清算：由遗产管理人（可能是法定继承人、遗嘱执行人或法院指定的管理人）对遗产进行清算，确定遗产的总价值。
债务确认：确认债务人的所有债务，包括债务金额、债权人身份等。
债务清偿：
- 若遗产足以清偿所有债务，则按债务比例分配给各债权人。
- 若遗产不足以清偿所有债务，则按比例清偿后，未受偿部分不再偿还。
遗产分配：在清偿债务后，若有剩余遗产，则按照继承法或遗嘱的指示进行分配。
三、特殊情况处理
- 夫妻共同债务：若债务为夫妻共同债务，则在一方死亡后，生存的一方需对共同债务承担连带清偿责任。
- 担保债务：若债务设有担保（如抵押、质押等），则担保债务优先于普通债务受偿。
四、法律时效与追讨
- 诉讼时效：普通债权的诉讼时效通常为3年，从债权人知道或应当知道权利被侵害时起算。若存在诉讼时效中断情形，如债权人向债务人主张过权利等，时效会重新计算。
- 追讨方式：债权人可通过与继承人沟通协商或向法院起诉的方式要求清偿债务。
综上所述，债务人死亡后的债务处理需遵循一定的法律原则和流程，主要依赖于遗产的存在与否以及继承人的选择。在处理过程中，应充分考虑各债权人的权益，确保债务得到公平、合理的清偿。