物业不可以将多年未交物业费的业主书面向全体业主公示。以下是对此问题的详细分析：

一. 物业费的缴纳属于业主与物业公司之间的合同关系

1. 合同相对性原则：根据合同法的相关规定，合同是特定当事人之间设立、变更、终止民事权利义务关系的协议。物业费的缴纳是基于业主与物业公司之间签订的物业服务合同，这是业主与物业公司之间的双方行为，受合同相对性原则的约束。
2. 隐私保护：业主未交物业费的情况涉及业主的个人隐私和财务状况，属于业主的个人信息。物业公司无权将此类信息公之于众，否则可能侵犯业主的隐私权。

二. 公示行为的法律性质及后果

1. 公示行为的法律性质：物业公司将业主未交物业费的情况向全体业主公示，实际上是一种公开披露业主个人信息的行为。这种行为如果未经业主同意，就构成了对业主隐私权的侵犯。
2. 可能的法律后果：如果物业公司擅自公示业主未交物业费的情况，业主有权要求物业公司停止侵害、赔礼道歉、消除影响、赔偿损失等。在严重的情况下，物业公司还可能面临法律诉讼和行政处罚。

三. 物业公司的正确做法

1. 催缴物业费：物业公司可以通过合法途径催缴物业费，如发送催缴通知单、电话催缴、上门催缴等。在催缴过程中，物业公司应尊重业主的隐私权和合法权益，不得采取侮辱、诽谤、威胁等不正当手段。
2. 法律途径解决纠纷：如果业主长期拖欠物业费，物业公司可以通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。在诉讼或仲裁过程中，物业公司应提供充分的证据证明业主拖欠物业费的事实，并请求法院或仲裁机构作出公正的裁决。

我建议：物业公司应尊重业主的隐私权和合法权益，不得擅自公示业主未交物业费的情况。如果业主拖欠物业费，物业公司应通过合法途径进行催缴，并寻求法律途径解决纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。