邮政银行支用显示逾期，银行在多次催收无果后，有可能会向管辖区的人民法院提起诉讼。针对这一问题，具体分析如下：

一. 逾期后的银行处理流程

1. 催收阶段：银行在发现逾期后，通常会先对借款人进行多次催收，这是银行为了收回欠款而采取的常规措施。
2. 法律诉讼：如果经过多次催收，借款人仍然没有清偿债务，银行就有可能会选择向管辖区的人民法院提起诉讼，要求借款人偿还欠款。这一步骤是银行在催收无果后，为了维护自身权益而采取的法律手段。

二. 逾期不还款的法律风险

1. 刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者罚金的处罚。这表明，如果借款人逾期不还款，并且在法院判决后有能力执行而拒不执行，将可能承担刑事责任。
2. 财产处罚：同样根据《中华人民共和国刑法》第三百一十四条，如果借款人隐藏、转移、变卖、故意毁损已被司法机关查封、扣押、冻结的财产，情节严重的，也可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者罚金的处罚。这一条款进一步强调了借款人不得恶意逃避债务的法律责任。

我建议，如果你现在面临邮政银行支用逾期的情况，应尽快与银行取得联系，协商还款事宜。通过积极沟通，你可以了解银行的具体要求，并寻求合适的还款方案，以避免可能的法律风险。如有进一步需要，您可以继续咨询我。