针对“伪造健康证应由什么部门执法”的问题，我可以明确告知您，伪造健康证的行为涉及多个部门执法，主要包括卫生健康行政部门以及公安机关。

1. 卫生健康行政部门：根据《公共场所卫生管理条例》及其实施细则，公共场所经营者应当组织从业人员每年进行健康检查，从业人员在取得有效健康合格证明后方可上岗。若公共场所经营者安排未获得有效健康合格证明的从业人员从事直接为顾客服务工作的，由县级以上地方人民政府卫生计生行政部门责令限期改正，给予警告，并处以罚款。因此，卫生健康行政部门有权对伪造健康证的行为进行查处，并给予相应的行政处罚。

2. 公安机关：伪造健康证属于伪造证件的行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体、企业、事业单位或者其他组织的公文、证件、证明文件的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。若伪造健康证的行为涉嫌犯罪，公安机关还将依法追究刑事责任。

综上所述，伪造健康证的行为应由卫生健康行政部门和公安机关共同执法。卫生健康行政部门负责查处公共场所经营者安排未获得有效健康合格证明的从业人员从事直接为顾客服务工作的行为，并给予行政处罚；而公安机关则负责查处伪造证件的行为，并根据情节轻重给予治安管理处罚或追究刑事责任。若您发现有人伪造健康证或存在其他相关违法行为，请及时向相关部门举报。