法律咨询有限公司的法务可以代理客户与银行进行协商。但在具体分析这一问题时，我们需要考虑以下几个方面：

一. 法务的代理权限

1. 一般代理权限：法律咨询有限公司的法务，作为专业的法律服务提供者，通常拥有代理客户处理各类法律事务的权限。这包括与客户一起或代表客户与银行进行协商，以解决债务、贷款或其他金融相关的问题。
2. 具体授权：然而，法务的具体代理权限还需根据客户与咨询公司之间签订的委托协议来确定。如果协议中明确授权法务代理与银行协商，则法务有权进行此类活动。

二. 协商的法律基础

1. 合同关系：银行与客户之间通常存在借款合同或其他金融服务合同。法务在代理客户与银行协商时，会基于这些合同的具体条款和双方的权利义务关系来展开。
2. 法律法规：在协商过程中，法务还需遵循相关的法律法规，如《民法典》、《合同法》等，确保协商内容的合法性和有效性。

三. 协商的实效性

1. 专业优势：法务具备专业的法律知识和谈判技巧，能够更有效地与银行进行沟通，争取对客户有利的协商结果。
2. 实际操作：在实际操作中，法务会代表客户提出合理的还款方案、利息调整请求等，并与银行进行多轮磋商，以期达成双方都能接受的协议。

综上所述，法律咨询有限公司的法务在获得客户授权的情况下，完全可以代理客户与银行进行协商。他们不仅具备专业的法律知识，还能根据客户的实际情况和银行的具体要求，提出切实可行的解决方案。我建议，在选择法律咨询有限公司时，客户应明确了解法务的代理权限和协商经验，以确保协商的顺利进行和自身权益的有效保护。如有进一步需要，您可以继续咨询我。