原合同和补充合同执行的关系与联系主要如下：
同等法律效力：一般情况下，补充合同与原合同具有同等的法律效力。补充合同并非独立于原合同存在，而是对原合同内容的补充、变更或细化。两者共同构成了合同双方之间的完整约定。
补充合同优先：当补充合同和原合同的内容出现冲突时，基于当事人意思自治原则，通常会以补充合同的约定为准。这是因为双方通过补充合同达成了新的约定，该约定应视为对原合同相关内容的修改或替代。
合法合规性要求：补充合同要想具备合法效力，其内容必须合法合规，不能违背法律法规的强制性规定，也不能违反公序良俗。如果补充合同存在无效或者可撤销的情况，即便它与原合同内容有冲突，也不能直接适用。
综合考量：在判断补充合同与原合同的效力及适用情况时，需要综合考量具体内容是否符合法律规定等多种情形。只有在补充合同合法有效的前提下，才会优先按照其约定执行。
举例来说，如果甲乙双方签订了一份房屋租赁合同，明确了租金、租期等事项。之后，双方又签订了一份补充合同，对租金支付方式进行了变更。在履行过程中，若双方对租金支付方式产生争议，此时应优先以补充合同的约定为准，前提是补充合同的内容合法合规。
综上所述，原合同和补充合同在执行上具有密切的联系和一定的优先顺序。在处理相关争议时，应充分考虑两者的关系及各自的内容，以确保合同的正确履行。