认购协议书在一定条件下可以由直系亲属代签。具体来说：

1. 有效代签的条件：

   • 直系亲属代签认购协议书需要获得被代签人的明确授权。这通常通过书面委托书的形式来实现，明确表明被代签人因某种原因（如生病、出差等）无法亲自签署，而委托直系亲属代为签署。
   • 代签行为不违反法律法规的强制性规定，且代签人在授权范围内进行代签。

2. 代签的法律效力：

   • 如果代签行为符合上述条件，那么该代签行为是有效的，认购协议书对被代签人具有法律约束力。
   • 如果直系亲属未经被代签人授权擅自代签，则可能构成无权代理。在这种情况下，若被代签人追认该代签行为，则代签有效；若被代签人不予追认，该代签行为对被代签人不产生法律效力，可能会引发合同纠纷。

3. 建议与注意事项：

   • 为避免潜在的法律风险，最好由被代签人亲自签署认购协议书。
   • 如果确实需要直系亲属代签，应确保获得被代签人的明确授权，并保留好相关的授权文件和证据。
   • 在代签过程中，应严格遵守法律法规和诚实信用原则，确保代签行为的合法性和有效性。

综上所述，认购协议书在一定条件下可以由直系亲属代签，但应确保获得被代签人的明确授权，并遵守相关法律法规和诚实信用原则。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。