关于第三者插足婚姻应该怎样处罚的问题，根据我国现行的《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，以下是对此问题的详细解答：

一、第三者插足婚姻的法律责任

在我国现有的法律体系里，单纯的第三者介入他人婚姻关系并不直接构成犯罪，法律并未将此类行为直接界定为违法行为。法律主要侧重于保护婚姻双方的权益，强调婚姻关系的自愿性和忠诚性。然而，第三方介入仍可能引发道德和伦理争议。

二、第三者可能承担法律责任的情形

1. 重婚罪：

   • 若第三者明知对方处于已婚状态，却仍然与其缔结合法婚姻，或者以夫妇身份进行公开同居，这种行为可能构成重婚罪。
   • 重婚罪是指有配偶又与他人结婚或者明知他人有配偶而与之结婚的行为。如果第三者明知对方有配偶而与之以夫妻名义共同生活，或者登记结婚，就构成重婚罪，需要承担刑事责任。

2. 精神损害赔偿：

   • 在因第三者介入而引发夫妻离异的情况下，无过失一方有权要求获得更多的财产份额。
   • 如果第三者的行为对无过失一方造成了严重的精神伤害，无过失一方有权向过错方以及第三者提出精神损害赔偿的诉求。这需要在离婚诉讼中一并提出，并证明第三者的行为对婚姻关系的破裂存在过错及造成了实际损害。

三、法律程序与证据要求

• 对于重婚罪的认定，法律程序较为严格，需要有确凿的证据证明相关行为。这通常包括但不限于婚姻登记记录、同居生活的证据、证人证言等。
• 在提起精神损害赔偿诉讼时，也需要提供充分的证据证明第三者的行为对婚姻关系的破裂存在过错，以及造成了实际的精神损害。

四、总结

综上所述，第三者插足婚姻在法律上的责任界定相对复杂。单纯的第三者介入行为本身并不直接构成犯罪，但如果涉及重婚或造成精神损害等情形，则可能承担相应的法律责任。在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助。同时，也应注意保护自己的合法权益，通过合法途径维护婚姻关系的稳定和和谐。